Рассмотрим положение Солнца S над точкой М земной поверхности (Рис. 2). Плоскость горизонта в т. М на небесной сфере 1 нанесена горизонтальным кругом HH¢. Перпендикуляр к плоскости HH¢ пересекает поверхность небесной сферы 1 в точке зенита Z. Солнце S совершает вокруг Земли годовое движение по орбите, которая проектируется на небесную сферу в виде круга эклиптики EE¢. Движение происходит против стрелки часов с началом отсчета долготы λ Солнца в точке весеннего равноденствия g. В этой точке Солнце находится в плоскости экватора AA¢, когда из южного полушария переходит в северное.

Видимое орбитальное движение Солнца вокруг Земли обусловлено неравномерным движением Земли вокруг Солнца по орбите, которая является эллипсом. Относительно неподвижных звезд период движения по орбите P_sd = 365.25636042 дней. Он называется сидерическим годом. В работах [19] [20] представлен алгоритм расчета долгот Солнца λ_j1, где j 1 = 1 , 2 , ⋯ , 365 , по дням года T d , j 1 = 1 , 2 , ⋯ , 365 . Отсчет дней начинается от момента весеннего равноденствия, т.е. j1 = 0 соответствует моменту равноденствия. Этот алгоритм основан на точном решении задачи двух тел [21] [22] . Задача рассматривается в полярной системе координат (r, j_o), где r ? расстояние Земли от Солнца, а j_o ? угловое положение Земли на орбите относительно перигелия орбиты. Время t_fp движения Земли по орбите от точки перигелия до точки ее нахождения с углом j_o рассчитывается по формуле

t f p = t ′ f p при φ o ≤ π и t f p = 2 ⋅ t a − t ′ f p при π < φ o ≤ 2 × π , (1)

Рис. 2. Основные геометрические характеристики Солнца S и наблюдателя M на земной поверхности. Характеристики небесной сферы 1: AA¢―плоскость подвижного экватора; ЕЕ¢―плоскость подвижной эклиптики, а ε―угол между плоскостями AA¢ и ЕЕ¢; N―северный полюс; Характеристики плоскости горизонта НН¢: дуга N_rdN = j − географическая широта точки M на плоскости горизонта; Z − зенит точки M; N_rd, E_st, S_th и W_st − точки Севера, Востока, Юга и Запада, соответственно, на круге горизонта НН¢. Характеристики годового движения Солнца по кругу эклиптики ЕЕ¢: d = SB − склонение Солнца; λ = gS − долгота Солнца; точки g, Е¢, g¢ и Е―точки нахождения Солнца в дни весеннего равноденствия, летнего солнцестояния, осеннего равноденствия и зимнего солнцестояния, соответственно; SS₁ − путь Солнца за одни солнечные сутки. Характеристики суточного движения Солнца по кругу S_rM_dS_sM_n: точки S_r, M_d, S_s и M_n положения центра Солнца в моменты восхода, полудня, захода и полуночи, соответственно; z = ÐZMS − зенитный угол Солнца; ω = ÐZNS − часовой угол Солнца, отсчитываемый от полудня.

где

t ′ f p = R p v p ⋅ { ( α 1 + 1 ) | sin φ o | ( 2 α 1 + 1 ) [ ( α 1 + 1 ) cos φ o − α 1 ] + α 1 [ arcsin α 1 + 1 − α 1 cos φ o ( α 1 + 1 ) cos φ o − α 1 − π / 2 ] ( − 2 α 1 − 1 ) 3 / 2 } ; (2)

R_p―радиус перигелия;

v_p―скорость Земли в перигелии.

α 1 = μ 1 / ( R p υ p 2 ) ―параметр траектории;

μ₁ = −G(M + m)―параметр взаимодействия;

G―гравитационная постоянная;

M―масса Солнца;

m―масса Земли;

t a = R p v p ⋅ − π α 1 ( − 2 α 1 − 1 ) 3 / 2 ―время движения от перигелия до афелия, которое следует из (2) при j_o = p. Здесь используется параметр траектории α₁, так как он известен при постановке задачи, а эксцентриситет орбиты e определяется в результате решения задачи двух тел. Для гравитационного взаимодействия эти параметры однозначно связаны: e = − ( 1 + α 1 ) / α 1 .

Этот алгоритм отличается от традиционного, основанного на уравнении Кеплера. Он, как уже отмечалось, базируется на точном решении задачи двух тел и является более простым в использовании. Программа Insl2bd.mcd в среде MathCad для расчета долгот λ_j1 и других характеристик инсоляции Земли имеется в свободном доступе: http://www.ikz.ru/~smulski//Data/Insol/. Алгоритм для определения долгот λ_j1 включен в пункты 3 - 5 программы на SunPhnmen.mcd расчета феноменов Солнца, которая представлена в Приложении. Текст программы на SunPhnmen.mcd также имеется в свободном доступе: http://www.ikz.ru/~smulski//Data/Insol/.

Как уже отмечалось, формулами (1)-(2) определяется время движения Земли от точки положения ее перигелия P_E (см. Рис. 2). Перигелий относительно восходящего узла g определяется углом φ_pg. Относительно Земли Солнце движется по той же орбите, но его перигей P_S сдвинут на 180˚, т.е. угол перигея Солнца ν = φ_pg + π. Так как долгота Солнца λ, также отсчитывается от восходящего узла g (см. Рис. 2), то полярный угол φ_o в формулах (1)-(2) выразится через долготу λ так:

φ o = λ − ν = λ − φ p γ − π (3)

Итак, формулами (1)-(3) определяется время годового движения Солнца по небесной сфере, т.е. по эклиптике EE', в зависимости от его долготы λ.

Эксцентриситет орбиты e, угол перигелия φ_pg и угол наклона орбиты ε к экватору изменяются со временем. Они определяются в результате решения двух задач об орбитальном и вращательном движении Земли. В рассматриваемых программах в среде MathCad эти параметры в зависимости от времени T, считываются из файла, например, файла OrAl-200.prn − за 200 тысяч лет назад (т.л.н.).

Положение Солнца S (Рис. 2) на эклиптике EE' известно в любой момент времени t. А угловое расстояние Солнца SB от экватора, т.е. угол cклонения δ, определяется известным в астрономии выражением

δ = arcsin ( sin ε ⋅ sin λ ) . (4)

Вывод выражения (4) имеется в работах [19] [20] . Отметим, что все используемые в настоящей работе формулы выведены нами. Многие из них известны в астрономии. Однако необходимо осуществлять их вывод по-новому, чтобы быть уверенным в возможности их использования при измененных параметрах орбитального и вращательного движения Земли.

Если в формулу (4) подставить λ = λ_j1, то мы получим склонение d_j1 для каждого дня года. В этой формуле и в последующих, с целью упрощения изложения, индекс j1 опускаем. Координатами λ и d полностью определяется годовое движение Солнца по небосводу. В дальнейшем потребуется угловое расстояние Солнца gB (Рис. 2) на экваторе AA¢, которое известно в астрономии как прямое восхождение α_S. Здесь индекс S, обозначающий Солнце, введен для отличия при обозначении значком α других параметров.

В сферическом прямоугольном треугольнике gSB известны углы: B = π/2; γ = ε и две стороны: gS = λ, BS = δ. Согласно преобразованиям сферической геометрии, например, формулы (1.1.013) в работе [23] можем записать для неизвестной стороны gB = α_S:

sin α S = tg δ ⋅ ctg ε .

После подстановки в это выражение δ из (4) получаем прямое восхождения Солнца в следующем виде:

α S 0 = arcsin cos ε ⋅ sin λ 1 − ( sin ε ⋅ sin λ ) 2 ; (5)

α S = α S 0 при λ ≤ 0. 5π ; α S = π − α S 0 при 0. 5π < λ ≤ 1.5 π ; α S = 2π + α S 0 при λ > 1.5 π .

В формулу (5) входит долгота Солнца λ, которая изменяется от 0 до 2π. Так как функция arcsin многозначна, то на интервалах λ больших π/2 необходимо выбирать нужные значения по представленному алгоритму.

Плоскости экватора AA¢ и эклиптики EE¢ изменяются в пространстве (Рис. 2), вследствие чего точка весеннего равноденствия g по часовой стрелке перемещается по эклиптике за год на 50².25641. Как уже отмечалось, годовое движение Солнца проходит по кругу эклиптики EE¢ против часовой стрелки, что отражается изменением долготы λ, начиная от точки весеннего равноденствия g. Поэтому время прохождения Солнцем двух последовательных точек весеннего равноденствия, т.е. тропический год P_tr = 365.24219879 дней, меньше сидерического года P_sd. Для того, чтобы сезоны года не смещались по датам, современный календарь основан на тропическом годе.

Солнце S при годовом движении по эклиптике EE' (см. Рис. 2) в момент весеннего равноденствия находится в т. g (λ = 0), а в день зимнего солнцестояния Солнце проходит т. E' (λ = π/2), в момент осеннего равноденствия находится в т. g' (λ = π), а в день зимнего солнцестояния проходит т. E (λ = 3π/2). В п. 8 программы на SunPhnmen.mcd вычислены моменты в днях прохождения точек лета T_dsm, осени T_dau и зимы T_dwn. Точку весеннего равноденствия, как уже отмечалось, Солнце проходит в момент T_dsp = 0. Так как ряд долгот λ_j1 расположен по целочисленному ряду дней T_d,j1, то эти расчеты проводятся интерполяцией по соседним значением долгот. Продолжительности сезонов: весны, лета, осени и зимы рассчитываются по разностям этих моментов, соответственно:

Δ T d s p = T d s m − T d s p ; Δ T d s m = T d a u − T d s m ; Δ T d a u = T d w n − T d a u ; Δ T d w n = P t r − T d w n . (6)

Результаты расчетов моментов наступления сезонов и их длительностей, согласно (6), приведены в табл. 1 для пяти эпох. Как уже отмечалось, эпохи выбраны в моменты наступления экстремумов угла наклона ε. Как видно из табл. 1 величина ε изменяется от 0.25841 до 0.55875 в радианах, или от 14.8˚ до 32.1˚ в градусах. В современную эпоху (T = 0) наибольшую длительность имеет лето (ΔT_dsm= 93.654 дня), а наименьшую―зима (ΔT_dwn = 88.981 дня). В эпоху T = 2.8 т.л.н лето имеет еще большую длительность, а наименьшую―осень. В эпоху T = 15.32 т.л.н лето имеет наименьшую длительность, а наибольшую―осень. Аналогичные изменения длительности сезонов происходят в остальные эпохи. Однако эти изменения не очень большие и не превышают 6 дней.

В Таблице 1 приведены длительности сезонов для северного полушария. Эти данные применимы и для южного полушария, если весну заменить осенью, а лето―зимой. Следует отметить, что приведенные в табл. 1 длительности сезонов для современной эпохи (T = 0) совпадают с известными в астрономии.

Земля совместно с наблюдателем M (см. Рис. 2), кругом горизонта HH¢ и меридианом NZE¢M_dA¢ вращается вокруг оси вращения Земли MN, с угловой скоростью ω → E . Вращение происходит против часовой стрелки. Поэтому Солнце относительно Земли и, в частности, относительно круга горизонта HH¢ по часовой стрелке перемещается по кругу S_rM_dS_s параллельно экватору AA¢. В точке S_r оно восходит над горизонтом HH¢, в точке M_d находится в полдень, а в точке S_s заходит за горизонт, а в точке M_n находится в полночь. Часовой угол ω Солнца S отсчитывается от меридиана NZE¢M_dA¢, проходящего через точку полдня M_d. Часовой угол ω равняется дуге A¢B на круге экватора AA¢. Угловое расстояние Солнца от зенита Z определяется дугой ZS = z, где z называется зенитным углом.

В сферическом треугольнике NZS известны две стороны: NZ = π/2 − φ; NS = π/2 − δ и угол N = ω между ними. Тогда по теореме косинусов [23] cos Z S = cos N Z ⋅ cos N S + sin N Z ⋅ sin φ N S ⋅ cos N для зенитного угла получим выражение в следующем виде [19] [20] :

cos z = sin δ ⋅ sin φ + cos δ ⋅ cos φ ⋅ cos ω . (7)

Таблица 1. Количество дней до начала сезонов в Северном полушарии и их продолжительность в эпохи T наступления экстремумов угла наклона ε: T − время в тыс. лет от 30.12.1949 г.

Зенитный угол z отсчитывается от точки зенита Z против часовой стрелки. В точке восхода S_r он равен: z = −π/2, в точке захода S_s угол z = π/2. При этих углах из выражения (7) определяется часовой угол заходов и восходов Солнца.

ω 0 = ± arcos ( − tg φ ⋅ tg δ ) . (8)

В представленном на Рис. 2 положении наблюдателя M и Солнца S длительность дня больше длительности ночи. При нахождении Солнца S в полдень в точке E¢ длительность дня будет наибольшая. Это точка летнего солнцестояния, по-другому, летнего солнцеворота. До этого момента Солнце каждый день приближалось к зениту Z, а в последующие дни оно будет удаляться от зенита. При нахождении Солнца S в точке E наибольшей будет длительность ночи. Это точка зимнего солнцестояния. А при нахождении Солнца S в точках g или g¢ его суточное перемещение будет происходить по кругу экватора AA¢. Этот круг пересекает круг горизонта HH¢ по его диаметру, поэтому время нахождения Солнца над горизонтом и под ним одинаково, т.е. длительность дня равна длительности ночи.

Если наблюдатель в точке M на Рис. 2 будет находиться на большей широте, т.е. дуга N_rdN будет больше, то окружность SM_d не пересечет круг горизонта HH¢. В этом случае для наблюдателя M наступит полярный день. При нахождении Солнца S¢ в южном полушарии вблизи т. E круг его суточного движения также не пересечет линию горизонта HH¢. В этом примере широты для наблюдателя в точке M наступит полярная ночь.

Длительность светового дня, или долгота дня D₀ в часах определяется (см. Рис. 2) суммой часовых углов ω₀ восходов и заходов центра Солнца (8):

D 0 = ( 24 / 2 π ) ⋅ 2 ω 0 = ( 24 / π ) ⋅ ω 0 . (19)

Так как часовой угол ω₀ отсчитывается до центра Солнца, то величина D₀ определяет длительность нахождения над горизонтом HH¢ центра Солнца. Световой день начинается с появления края Солнца и заканчивается с опусканием его за горизонт. Кроме того, из-за уменьшения плотности атмосферы с высотой происходит преломление (рефракция) светового луча так, что Солнце видно на угол ρ₉₀ под горизонтом. В общем случае для наблюдаемых на небе объектов отклонение ρ₉₀ при зенитном угле z = 90˚, или рефракция, зависит от ряда факторов, которыми для Солнца можно пренебречь. Поэтому в астрономии рефракция принята постоянной и равно ρ₉₀ = 34' [24] .

На Рис. 2 часовой угол z показан между центром Солнца и зенитом Z наблюдателя M, находящегося на поверхности Земли. А формулой (7) угол z определяется от центра Земли. Угол p, под которым расстояние наблюдателя от центра Земли видно с Солнца, называется его параллаксом. Положение Солнца на небесной сфере будет отличаться на этот угол для двух наблюдателей, находящихся в точке зенита и в точке восхода, например. На угол p необходимо уменьшить рассчитанную по (7) величину зенитного угла. Наибольшая величина параллакса p не превышает 8''.8 [24] . Эта величина в 230 раз меньше величины рефракции ρ₉₀, поэтому параллаксом можно пренебречь.

Имеется еще один источник искажения положения Солнца на небосводе (см. Рис. 5), который обусловлен движением наблюдателя M относительно Солнца S со скоростью v → . Это явление называется аберрацией света.

При движении наблюдателя относительно источника света S происходят изменения всех характеристик света. Точное выражение для измененных характеристик света приведено в работе [27] . При скорости движения v, значительно меньшей скорости света c для угла смещения источника справедливо выражение

σ = β ⋅ sin θ o b , (20)

где β = v/c

Истинное положение источника S отличается от наблюдаемого положения S_ob на угол σ. Упрощенно, как это принято в астрономии [24] , можно рассмотреть движение наблюдателя M относительно Солнца за счет суточного вращения Земли v_rt и за счет ее орбитального движения (v_or) относительно Солнца. При суточном вращении в точках восхода и захода Солнца углы θ между ним и скоростью v_rt близки к 0 и π. Поэтому, согласно

Рис. 5. Угол θ_ob видимого положения Солнца S_ob при движении наблюдателя M со скоростью v → и угол θ действительного положения солнца S.

(20), угол смещения σ будет близкий к нулю. За счет орбитального движения в этих же точках угол θ между Солнцем и скоростью v_or близок к π/2. В этом случае угол наблюдаемого Солнца будет на величину σ меньше, чем угол истинного. Это будет приводить к более раннему восходу Солнца и более раннему его заходу. Так что на длительность светового дня это явление не оказывает влияние. При этом угол смещения σ не превышает 20'' [24] . Эта величина в 100 раз меньше величины рефракции ρ₉₀, а также меньше неопределенности величины ρ₉₀. Поэтому аберрацией света можно пренебречь.

Следует отметить, что в силу пренебрежения аберрацией света такое рассмотрение этого явления по составляющим скорости v_rt и v_or допустимо. Однако при точном его рассмотрении, необходимо рассматривать полный вектор скорости, его три угла наклона к линии MS_ob (Рис. 5). Затем вычислять изменение этих углов по точным формулам в работе [27] .

Теперь рассмотрим восходы и заходы верхнего края Солнца. На Рис. 6 показано смещение края диска Солнца на угловое расстояние GK = ρ₉₀ ниже уровня горизонта HH¢ в момент его захода. Видимый радиус Солнца KS_s1 согласно [24] равен:

K S s 1 = 961 " .18 ρ = 4.6599 × 10 − 3 ρ , (21)

где ρ ? расстояние Солнца от Земли, отнесенное к большой полуоси a орбиты Земли. Величина ρ рассчитывается по уравнению траектории в зависимости от долготы λ [21] [22] .

С учетом (21) дуга GS_s1 будет равна в радианах

G S s 1 = 10 − 3 ⋅ ( 9.8902 + 4.6599 ρ ) . (22)

Дуга GS_s1 расположена на окружности большого круга, проходящего через точку зенита Z (Рис. 2), поэтому она является приращением зенитного угла, т.е. Δz = GS_s1. Тогда зенитный угол видимого края заходящего Солнца будет

z 0 a = π / 2 + G S s 1 . (23)

Так как часовой угол ω связан с зенитным углом z выражением (7), то часовой угол видимого захода края Солнца можно записать так:

cos ω 0 a = cos z 0 a − sin δ ⋅ sin φ cos δ ⋅ cos φ . (24)

Рис. 6. Аберрационное смещение GK = ρ₉₀ края диска Солнца в момент его захода: HH¢―линия горизонта; S_s1―положение центра Солнца во время захода его края.

Так как правая часть по модулю может превышать 1, то перепишем выражение (24) в виде:

ω 0 a = arcos ( F n ) , (25)

где функция Fn определяется в зависимости от промежуточной функции

F n 0 = cos z 0 a − sin δ ⋅ sin ϕ cos δ ⋅ cos ϕ (26)

так:

F n = F n 0 при − 1 ≤ F n 0 ≤ 1 ; F n = − 1 при F n 0 < − 1 ; F n = 1 при F n 0 > 1 . (27)

Как следует из Рис. 2, зенитный угол видимого края восходящего Солнца будет z_0ra = −π/2 − GS_s1, т.е. по модулю такой же, как и z_0a. Поэтому модуль часового угла восхода Солнца будет определяться также выражением (25). Тогда долгота светового дня в радианах равна 2∙ω_0a, а в часах запишется так:

D = 24 ⋅ ω 0 α / π . (28)

На Рис. 7 показано изменение долготы дня D в течение года на разных широтах. Например, на широте φ = 60˚ в момент весеннего равноденствия (T_d = 1) D = 12.31 часа, затем она увеличивается до 18.87 часа в момент летнего солнцестояния. В момент осеннего равноденствия D = 12.26 часа, а затем уменьшается до D = 5.87 часа в день зимнего солнцестояния. С уменьшением широты φ экстремумы долготы дня D уменьшаются и приближаются к 12.1 часа на экваторе (φ = 0˚).

С увеличением широты φ > 60˚ наибольшая долгота дня в день летнего солнцестояния приближается к 24 часам. На полярном круге (φ = 90˚ − ε˚) наступает полярный день, который длится 31 сутки. С увеличением широты длительность полярного дня увеличивается до половины года на полюсе. В день зимнего солнцестояния долгота дня с увеличением широты уменьшается до D = 2.17 часа на полярном круге. С дальнейшим увеличением широты наступает полярная ночь.

Представленная на Рис. 7 картина изменения долготы дня совпадает с

Рис. 7. Продолжительность (долгота) светового дня в году на разных широтах φ Северного полушария в современную эпоху 30.12.1949 г.

таковой в астрономии [24] .

Рассмотрим моменты наступления полярных дней и ночей и их длительность. Для этого необходимо рассчитать долготы λ этих событий. Как уже отмечалось, полярному дню соответствует долгота (длительность) дня D_d = 24 часа, а полярной ночи D_n = 0 часов. Тогда из (28) получаем часовые углы полярного дня ω_0ad =π и полярной ночи − ω_0an = 0. После подстановки в (25) вместо ω_0a этих значений часового угла, получаем Fn_d = −1 для полярного дня и Fn_n = 1 для полярной ночи. Здесь функция Fn определяется выражением (26). Перепишем его в следующем виде:

cos z 0 a − sin δ ⋅ sin φ = F n ⋅ cos δ ⋅ cos φ .

Подставив в это выражение значение sinδ, согласно (4), получим следующее уравнение для долготы λ

cos z 0 a − sin ε ⋅ sin λ ⋅ sin φ = F n 1 − sin 2 ε ⋅ sin 2 λ ⋅ cos φ . (29)

После возведения (29) в квадрат и преобразований с учетом того, что для рассматриваемого случая Fn² = 1, получаем для sinλ квадратное уравнение

sin 2 λ − 2 sin φ ⋅ cos z 0 a sin ε ⋅ sin λ − cos 2 φ − cos 2 z 0 a sin 2 ε = 0. (30)

Оно имеет два решения, отличающиеся знаками “+” и “−” перед квадратным корнем. Запишем это решение в виде одной формулы:

sin λ = F n 01 ; F n 02 , (31)

где функция со знаком “+” имеет вид:

F n 01 = [ ( sin φ ⋅ cos z 0 a ) 2 + cos 2 φ − cos 2 z 0 a + sin φ ⋅ cos z 0 a ] / sin ε . (32)

Функция Fn02 перед корнем имеет знак “−”.

Чтобы исключить значения по модулю превышающие 1 вводятся функции

F n 1 = F n 01 при 1 ≥ F n 01 ≥ − 1 ; F n 1 = 1 при F n 01 > 1 ; (33)

F n 2 = F n 02 при 1 ≥ F n 02 ≥ − 1 ; F n 2 = − 1 при F n 02 < − 1 . (34)

Летнее полугодие характеризуется долготами 0 < λ < π, а зимнее ?π < λ < 2π. Так как функция Fn1 > 0, то она будет давать летние долготы, а отрицательная функция Fn2―зимние долготы. Тогда в соответствии с (31) летние долготы полярных дней будут λ_pd = arcsin(Fn1). Эта функция будет давать два решения: для первого λ_pd и второго квадранта λ_pd1. Как следует из Рис. 7 меньшее значение соответствует началу полярного дня, а большее―концу. Окончательно долготы начала и конца полярных дней запишутся в виде:

λ p d = arcsin ( F n 1 ) ; λ p d 1 = π − arcsin ( F n 1 ) . (35)

Аналогично долготы начала и конца полярных ночей определятся так:

λ p n = 2π + arcsin ( F n 2 ) ; λ p n 1 = π − arcsin ( F n 2 ) . (36)

Чтобы найти моменты по времени T_d, соответствующие долготам λ_pd, λ_pd1, λ_pn, λ_pn1, необходимо найти индексы j₁ соседних долгот. Затем интерполяцией определяются моменты: T_dd и T_dd1―начала и конца полярного дня, а также T_dn и T_dn1―начала и конца полярной ночи. Алгоритм вычисления приведен в п. 11 программы SunFhnm.mcd в Приложении, а на Рис. 8 они представлены в виде графиков. В области I приблизительно до T_d = 90 дней изображены начала полярных дней в зависимости от широты φ. Разными линиями и точками показаны графики для 5 эпох. Аналогично в области II приблизительно при 90 < T_d < 180 дней этими же линиями показаны моменты T_d окончания полярных дней. Аналогично приблизительно при 180 < T_d < 270 и T_d > 270 изображены начала (III) и окончания (IV) полярных ночей.

Например, в современную эпоху T = 0 на широте φ = 70˚ в T_d = 56.88 день от момента весеннего равноденствия наступает полярный день. Он заканчивается в T_d = 128.82 день. Полярная ночь наступает в T_d = 250.05 день и заканчивается в T_d = 302.39 день. С увеличением широты φ начала полярных дней и ночей происходит раньше, а окончание позже. С уменьшением широты φ начала полярных дней отдаляются и приближаются к T_d = 92.8 дню, а начала полярных ночей приближаются к T_d = 275.5 дню. Это происходит на широтах близких к широте полярного круга, которая для современной эпохи равна 66.56˚.

В другие эпохи графики начала и конца полярных дней и ночей, как видно из Рис. 8, идентичны, но широта их начала может существенно смещаться. При этом изменяется продолжительность полярных дней и ночей. Например, в эпоху 31 т. л. н. широта начала полярных дней и ночей

Рис. 8. Моменты T_d наступления (I, III) и окончания (II, IV) полярных дней (I, II) и ночей (III, IV) на разных широтах Северного полушария в экстремальные эпохи за последние 50 т.л.н.

смещается до56˚ и 58˚, соответственно, а в эпоху 46.44 т. л. н.―до 74˚ и 76˚ соответственно.

Следует отметить, что древние арии [15] в эпоху 31 т. л. н. могли обитать на территории близкой по широте г. Тюмени (φ = 57.15˚) и наблюдать полярные дни и ночи. С приближением последнего ледникового периода 15.32 т. л. н. они вынуждены были мигрировать на южные территории.

Начала полярных дней и ночей и их продолжительность ΔT_dd = T_dd1 − T_dd и ΔT_dn = T_dn1 − T_dn соответственно, на разных широтах рассчитаны для пяти разных эпох. Они представлены в табл. 1П в Приложении работы [28] , которая имеется в свободном доступе. Для сравнения в этой таблице приведены длительности полярных дней и ночей в астрономии в современную эпоху. Они обозначены как EA по названию “Эфемеридная астрономия” источника [24] . Данные EA приведены с точностью 1 день. Округление начала и конца полярных дней и ночей может приводить к разности их длительности в 2 дня. В табл. 1П такое отличие наблюдается. А в целом представленные на Рис. 8 и табл. 1П результаты для современной эпохи совпадают с известными данными в астрономии.

Рассмотрим долготу светового дня в моменты летнего и зимнего солнцестояний в неполярных широтах. Как уже отмечалось, наибольшая долгота светового дня будет в момент летнего солнцестояния λ_s = π/2, а наименьшая − в момент зимнего солнцестояния λ_w = 1.5∙π. Тогда склонение Солнца δ, согласно (4), в этих случаях будет δ_s = ε и δ_w = −ε, соответственно. Тогда после подстановки угла δ_s в (26) часовой угол видимых восходов и заходов края Солнца в момент летнего солнцестояния запишется аналогично (25)-(27) так:

ω 0 s a = arcos ( F n s ) ; (37)

F n 0 s = cos z 0 a 1 − sin ε ⋅ sin ϕ cos ε ⋅ cos ϕ ; (38)

F n s = F n 0 s при − 1 ≤ F n 0 s ≤ 1 ; F n s = − 1 при

F n 0 s < − 1 ; F n s = 1 при F n 0 s > 1 . (39)

В формуле (30) использован зенитный угол z_0a1, в котором безразмерное расстояние от Земли до Солнца ρ, согласно (22), из-за малого влияния его изменения принято ρ = 1.

После подстановки угла δ_w = −ε в (26) часовой угол видимых восходов и заходов края Солнца в момент зимнего солнцестояния запишется аналогично (37)-(39) так:

ω 0 w a = arcos ( F n w ) ; (40)

F n 0 w = cos z 0 a 1 + sin ε ⋅ sin φ cos ε ⋅ cos φ ; (41)

F n w = F n 0 w при − 1 ≤ F n 0 w ≤ 1 ; F n w = − 1 при

F n 0 w < − 1 ; F n w = 1 при F n 0 w > 1 . (42)

Тогда долгота светового дня в моменты летнего и зимнего солнцестояний запишутся, соответственно, так:

D s = 24 ⋅ ω 0 s α / π ; D w = 24 ⋅ ω 0 w α / π . (43)

Результаты расчетов долготы дня в моменты солнцестояний по формулам (37)-(43) на Рис. 9 даны для пяти разных эпох. Графики представляют изменение долготы дня D по широтам φ северного полушария. Для зимнего солнцестояния долгота дня D ≤ 12 часов отмечена как область I, а для летнего солнцестояния―как область II.

В современную эпоху, как видно из Рис. 9, на широте 50˚ в зимнее солнцестояние день длится 8 часов, а в летнее―16.37 часа. С уменьшением широты день в зимнее солнцестояние увеличивается и приближается к 12 часам на экваторе. А в летнее солнцестояние день уменьшается и на экваторе также приближается к 12 часам. С увеличением широты φ долгота зимнего дня уменьшается и приближается к нулю. То есть наступает полярная ночь, а долгота летнего дня увеличивается до 24 часов и наступает полярный день.

Для остальных эпох изменения долготы дня изменяются подобным образом, но с разными наклонами зависимостей D(φ). Например, для эпохи 31 т. л. н. полярные ночи и дни начинаются на меньших широтах, а в эпоху 46.44 т. л. н.―на больших широтах.

В табл. 2П работы [28] приведены долготы дней для летнего солнцестояния (D_s) и зимнего (D_w) для пяти разных эпох. Изменение широты φ дается через 2˚, начиная с экватора. Широты изменяются до величин, после которых наступает полярный день (D_s = 24 часа) и полярная ночь (D_w = 0 часов).

Рис. 9. Долгота светового дня D в моменты зимнего солнцестояния (I) и летнего солнцестояния (II) на разных широтах φ˚ Северного полушария в экстремальные эпохи T за последние 50 т.л.н.: T―время в тыс. лет от 30.12.1949 г.; D―долгота светового дня в часах.

Азимут Солнца A_S отсчитывается на круге горизонта HH' (Рис. 2) от точки севера N_rd до проекции Солнца в т. D за часовой стрелкой

A S = N r d S t h + S t h D = 2 π − D N r d . (44)

В треугольнике N_rdZD, две стороны которого N_rdZ и ZD равны π/2, дуга DN_rd равняется углу Z. В треугольнике NZS известны две стороны: NS = π/2 − δ и ZS = z, а также угол N = ω. По теореме синусов

sin Z / sin N S = sin N / sin Z S ,

находим

sin Z = sin ω ⋅ cos δ / sin z , (45)

где дуга z является зенитным углом Солнца и согласно (7) определяется выражением:

z = arcos ( sin δ ⋅ sin φ + cos δ ⋅ cos φ ⋅ cos ω ) . (46)

Тогда с учетом (45) азимут Солнца (44) A_S = 2π − Z запишется в радианах так:

A S , r a d = 2 π – arcsin ( sin ω ⋅ cos δ / sin z ) . (47)

Так как функция arcsin в (47) неоднозначна и после достижения экстремальных значений ±π/2 имеет изломы, то проводятся следующие операции. Вводится функция

F n 03 = arcsin ( sin ω ⋅ cos δ / sin z ) . (48)

Находятся максимальные значения mxFn функции Fn03 и минимальные ее значения mnFn. При изменении часового угла ω от −π до π определяются индексы часового угла in9, соответствующего mnFn, и in 10, соответствующего mxFn. В зависимости от этих индексов рассчитываются диапазоны индекса k часового угла ω_k и значения функции Fn3 так:

F n 3 = F n 03 при i n d 9 ≤ k ≤ i n 10 ; F n 3 = − π − F n 03 при k < i n 9 ;

F n 3 = π − F n 03 при k > i n 10 . (49)

Как видно из (48) при ω = 0, в полдень, функция Fn03 может быть равной 0 или π. Согласно Рис. 2 в полдень Fn03 = N_rdD = π. Тогда с учетом этого и (48)-(49) азимут Солнца в градусах в соответствии с (47) запишется так:

A S = 18 0 ∘ + ( 18 0 ∘ / π ) ⋅ F n 3 . (50)

Следует отметить, что минимальное и максимальные значения Fn03 могут принадлежать не центральному участку. В этом случае на азимуте A_S при большом интервале между делениями ω будут всплески при переходе через 0.5・π и 1.5・π. В этом случае нужно использовать следующее условие:

Fn3 = Fn03 при ind9 < k < in10; Fn3 = −π − Fn03 при k ≤ in9; Fn3 = π − Fn03 при k ≥ in10.

Этот алгоритм реализован в п. 13 программы SunPhenmn.mcd. На Рис. 10 приведены азимуты движения Солнца по небосводу на широте Москвы в современную эпоху. Линией 1 показано изменение азимута в день весеннего равноденствия. Азимут Солнца в полночь ω = −12 часов равен нулю и увеличивается на рассвете (ω ≈ −6 часов) до 90˚. В течение дня продолжает увеличиваться: в полдень (ω = 0 часов) до 180˚ и в полночь (ω = 12 часов) достигает значения 360˚. Вертикальными линиями показаны часы восхода и захода Солнца.

В дни солнцестояний: летнего (линия 2) и зимнего (линия 3) изменение азимутов происходит аналогичным образом, но границы дня существенно изменяются. Кроме того, по сравнению с изменением азимута в дни равноденствия, в эти дни характер изменения азимутов более существенно отличается от линейного закона. Нелинейный характер изменения A_S свидетельствует, что определение промежутков времени по азимуту Солнца или по тени гномона, будет характеризоваться соответствующей неравномерностью хода времени. На Рис. 10 часовые промежутки нанесены кружками. Так как в дни равноденствий азимут A_S 1 изменяется наиболее близко к линейному закону, то равноденственные часы наиболее равномерны.

Условия (49) при вычислении азимута Солнца справедливы для нетропических широт. В тропических широтах Северного полушария широта φ меньше угла наклона ε, т.е. φ − ε < 0. Для зенитного угла z в полдень (ω = 0) из (7) следует

z n = φ – δ . (51)

Поэтому, как уже отмечалось, в день летнего солнцестояния (δ = ε см.

Рис. 10. Азимуты A_S на широте Москвы (j˚ = 55.7522˚) суточного движения Солнца в дни весеннего равноденствия (1), летнего (2) и зимнего (3) солнцестояний в современную эпоху 30.12.1949 г. Вертикальными линиями отмечены часовые углы восходов (ω < 0) и заходов Солнца (ω > 0). Кружками 4 отмечены часовые промежутки времени.

Рис. 2) зенитный угол в тропических широтах изменяется от

z n s = φ – ε (52)

до

z n w = φ + ε (53)

в день зимнего солнцестояния (δ = −ε). Из (52) видно, что в день летнего солнцестояния зенитный угол z_ns становится отрицательным, т.е. для наблюдателя M (см. Рис. 2) Солнце находится в северной стороне неба. В этом случае в полдень (ω = 0) азимут Солнца A_Sn = 0, а не π, как в нетропических широтах. Следует отметить, что в этом случае суточное движение Солнца для наблюдателя M происходит на южной стороне неба справа налево, а не как на северной стороне слева направо, как это наблюдается в нетропических широтах.

Ситуации с отрицательным углом z_n, согласно (51), имеют место не только для дня летнего солнцестояния, но и для других дней. Поэтому необходимо определять номера дней, для которых z_n < 0. Тогда для рассмотренного случая тропических широт азимут Солнца запишется так:

A_St = (180/π)・Fn03 при z_n < 0. (54)

Полностью алгоритм расчета азимута Солнца приведен в п. 13 программы SunPhenmn.mcd в Приложении. На Рис. 11 представлено изменение азимута Солнца в течение суток на широте φ = 20˚. В день весеннего равноденствия 1 и зимнего солнцестояния 3 азимут Солнца изменяется от 180˚ в полночь (ω = −12 часов) до некоторого минимального значения. Для зимнего солнцестояния 3 оно приходится на ночь, а для весеннего равноденствия―на рассвет. В полдень азимут Солнца снова равняется 180˚, т.е. Солнце находится в южной стороне неба. При движении Солнца от полдня к полночи оно проходит максимальные значения азимута и в полночь снова приходит на юг (A_S = 180˚).

В день летнего солнцестояния (линия 2, правая шкала графика) Солнце в

Рис. 11. Азимуты в тропических широтах (j˚ = 20˚) суточного движения Солнца в дни весеннего равноденствия 1, летнего 2 и зимнего 3 солнцестояний в современную эпоху 30.12.1949 г. Шкала азимута дня летнего солнцестояния 2 сдвинута на 180˚ (см. справа графика). Вертикальными линиями отмечены часовые углы восходов (ω < 0) и заходов Солнца (ω > 0).

полночь находится на Севере (A_S = 0˚), затем движется по северной стороне неба (A_S < 90˚). Перед полднем (ω ≈ 1 час) достигает максимального отклонения к востоку и в полдень возвращается на север (A_S = 0˚). После полдня Солнце переходит в западную сторону неба и достигает максимального отклонения к западу (A_S ≈ 70˚). К полночи Солнце снова возвращается на север (A_S = 0˚). Следует отметить, что здесь мы использовали для определения азимута шкалу не от 0 до 360˚, а от −180˚ до 180˚. Это позволяет избежать разрыва графика на интервале часового угла ω от −12 часов до +12 часов.

В нетропических широтах суточное движение Солнца происходит по полному кругу вокруг наблюдателя M, т.е. A_S = 0 ÷ 2π. В тропических широтах суточный круг движения Солнца происходит в стороне от наблюдателя: летом (линия 2) в северной стороне неба, зимой, включая дни равноденствия, (линии 1 и 3) ? в южной стороне неба.

Рассмотрим проекцию на плоскость горизонта дневное движение Солнца. Положение Солнца S (Рис. 2) над плоскостью горизонта HH' определяется зенитным углом z и углом азимута A_S, который определяется дугой N_rdS_rS_thD. На плоскости горизонта введем две оси координат с началом в точке M: N_S ? направленная на Север N_rd и E_S ? направленная на Восток E_st. Тогда проекции центра Солнца на эти оси запишутся так:

N S = sin z ⋅ cos A S ; E S = sin z ⋅ cos A S , (55)

где A_S ? азимут Солнца в радианах.

Выражением (55) также определяются координаты N_S, E_S точек восхода и захода верхнего края Солнца, если углами z и A_S будут определены их моменты времени. На Рис. 12 проекции дневного пути Солнца показаны для трех случаев: в день весеннего равноденствия и в дни солнцестояний на широте Москвы.

В день весеннего равноденствия центр Солнца всходит на Востоке и заходит на Западе. А восход и заход верхнего края Солнца немного сдвигается на Север. Летом восход и заход Солнца находится в северной части горизонта. С увеличением широты φ траектория 2 Солнца будет приближаться к окружности. На широте, где траектория станет окружностью, наступит полярный день.

В день зимнего солнцестояния траектория 3 Солнца укорачивается и находится в южной стороне неба. С увеличением широты длина ее уменьшается, и там, где траектория исчезает, наступает полярный день.

Следует отметить, что конечные точки на траектории Солнца в дни равноденствий 1 и в дни солнцестояний 2 и 3 играют ключевую роль в древных астрономических календарях [17] [18] . Представленный в п. 15 программы на SunPhnmen.mcd алгоритм позволяет рассчитать их для любой эпохи.

Рис. 12. Проекция дневного пути Солнца на плоскости горизонта на широте Москвы (j = 55.7522˚) в современную эпоху 30.12.1949 г.: 1―в дни весеннего равноденствия; 2―летнего и 3―зимнего солнцестояний. Ось N_S направлена на Север (N_rd), а ось E_S―на восток (E_st). Положение наблюдателя (M) в начале координат отмечено крестиком. Точками на линиях отмечены восходы верхнего края Солнца (с правой стороны) и его заходы (с левой стороны).

В отличие от азимутов суточного движения Солнца азимуты точек восхода и захода необходимо отсчитывать до точек появления и исчезновения верхнего края Солнца. Как видно из Рис. 2 и Рис. 6, азимут наблюдаемой точки G захода края Солнца состоит из дуг на круге горизонта HH¢

A G s = N r d E s t S t h W s t + W s t S s + S s G , (56)

где E_st и W_st ? точки Востока и Запада на круге горизонта.

Дуга N_rdE_stS_thW_st равна 1.5∙π (см. Рис. 2). Через точку S_s и полюс N проведена дуга большого круга S_sF, поэтому она перпендикулярна дуге экватора AA', т.е. угол F = 0.5∙π. Дуга S_sF равна δ. В треугольнике S_sFW_st угол W_st = π/2 − φ. Поэтому дуга W_stS_s определяется по теореме синусов

W s t S s = arcsin ( sin δ / cos φ ) . (57)

Сторона GS_s может быть найдена из треугольника GS_s1S_s. (см. Рис. 6), в котором угол S_s = W_st = π/2 − φ. В виду малости треугольника, его можно рассматривать как плоский и линейный со сторонами R_E・GS_s1 и R_E・GS_s, где R_E―радиус Земли. Для угла S_s можно записать: tg(π/2 − φ) = R_E・GS_s1/(R_E∙GS_s). Отсюда получаем:

G S s = G S s 1 ⋅ tg φ . (58)

Подставляя в (56) составляющие получим азимут точки захода Солнца в градусах в виде:

A G s = ( 18 0 / π ) ⋅ ( 1.5 π + arcsin ( sin δ / cos φ ) + G S s 1 ⋅ tg φ ) . (59)

Ввиду того, что sinδ/cosφ по модулю может превышать 1, введем обозначение:

F n 04 = sin δ / cos φ (60)

и определим функцию:

F n 4 = F n 04 при − 1 ≤ F n 04 ≤ 1 ; F n 4 = − 1

при F n 04 < − 1 ; F n 4 = 1 при F n 04 > 1 . (61)

Тогда азимут точки захода Солнца будет:

A G s = ( 18 0 / π ) ⋅ ( 1.5 π + arcsin ( F n 4 ) + G S s 1 ⋅ tg φ ) . (62)

Чтобы рассчитать азимут точки восхода, обозначим точку S_r1 видимого восхода края Солнца на дуге M_nS_r (на Рис. 2 эта точка не приведена). Она находится под горизонтом HH¢ и дуга S_r1S_r равна по величине дуге S_s1S_s (см. Рис. 6), т.е. S_r1S_r = S_s1S_s. Поэтому точка наблюдаемого восхода края Солнца G_s будет ближе к точке севера N_rd на величину дуги S_rG₁ = S_sG. Тогда азимут наблюдаемой точки G_s восхода будет определяться следующими дугами:

A G r = N r d E s t − E s t S r − S r G r , (63)

где точка E_st находится в пересечении кругов горизонта HH¢ и экватора AA', а ее азимут N_rdE_st = π/2. Дуга E_stS_r = W_stS_s. Подставляя в (63) все составляющие азимут точки восхода края Солнца с учетом (60)-(61) получаем в виде:

A G r = ( 18 0 / π ) ⋅ ( 0. 5π − arcsin ( F n 4 ) − G S s 1 ⋅ tg φ ) . (64)

Как видим из (62) и (64) сумма азимутов восходов и заходов

A G s + A G r = 36 0 ∘ . (65)

Сумма A_Gs + A_Gr может отличаться от 360˚, если горизонт в восточной части отличается от горизонта в западной части высотой окружающей местности. Приведенные формулы для азимутов не учитывают этой особенности и дают симметричные азимуты восходов и заходов относительно направления MN_rd на север (Рис. 2).

На Рис. 13 показано изменение азимута точки восхода края Солнца A_Gr в течение года на разных широтах. Например, на широте φ = 60˚ в момент весеннего равноденствия (T_d = 1) азимут A_Gr = 87.76˚, затем он уменьшается до 35.84˚ в день летнего солнцестояния. В момент осеннего равноденствия A_Gr = 88.23˚, а затем увеличивается до A_Gr = 141.27˚ в день зимнего солнцестояния.

С уменьшением широты φ экстремумы азимута Солнца A_Gr уменьшаются и на экваторе (φ = 0˚) приближаются к 66.56˚ в день летнего солнцестояния и к 113.44˚ в день зимнего солнцестояния. С увеличением широты φ > 60˚ наименьший азимут точки восхода края Солнца A_Gr в день летнего солнцестояния приближается к 0˚, т.е. Солнце восходит на Севере. На полярном круге (φ = 90˚ − ε˚) наступает полярный день. С увеличением широты в день зимнего солнцестояния (T_d = 276) азимута Солнца A_Gr увеличивается до 180˚ на полярном круге (φ = 90˚ − ε˚), т.е. Солнце всходит на Юге. С дальнейшим увеличением широты наступает полярная ночь.

Рис. 13. Азимуты восходов верхнего края Солнца в современную эпоху 30.12.1949 г. в течение года на разных широтах φ˚ Северного полушария: A_Gr―азимуты восходов Солнца в градусах.

Следует отметить, что графики на Рис. 13 напоминают графики долготы светового дня на Рис. 7, если их перевернуть вокруг горизонтальной линии A_Gr = 90˚. Азимуты точки захода края Солнца A_Gs, как следует из (65), A_Gs = 360˚ − A_Gr, поэтому их графики будут похожи на графики долготы светового дня на Рис. 7.

Наибольшие азимуты заходов и наименьшие азимуты восходов верхнего края Солнца имеют место в день летнего солнцестояния λ_s = π/2. В день зимнего солнцестояния λ_s = 1.5∙π экстремумы азимутов становятся обратными: азимуты заходов―наименьшие, а азимуты восходов―наибольшие. Приведем предельные азимуты восходов (64) в день летнего солнцестояния:

A G r s m = ( 18 0 / π ) ⋅ ( 0.5 π − arcsin ( sin ε / cos φ )     − ( 9.8902 × 10 − 3 + 4.6599 × 10 − 3 / ρ s ) ⋅ tg φ ) (66)

и в день зимнего солнцестояния:

A G r w n = ( 18 0 / π ) ⋅ ( 0.5 π + arcsin ( sin ε / cos φ )     − ( 9.8902 × 10 − 3 + 4.6599 × 10 − 3 / ρ w ) ⋅ tg φ ) (67)

Азимуты заходов Солнца (62) в дни солнцестояний запишутся аналогичным образом. При вычислениях по формулам (66)-(67) в алгоритм необходимо ввести условия, чтобы избежать |sinε/cosφ| > 1 (см. п. 14 программы в Приложении).

Результаты расчетов азимуты восходов Солнца в дни солнцестояний по формулам (66) - (67) для пяти разных эпох даны на Рис. 14. Графики представляют изменение азимута A_Gr по широтам φ Северного полушария. Для летнего солнцестояния азимуты A_Gr ≤ 90˚ отмечены как область I, а для зимнего солнцестояния―как область II.

В современную эпоху, как видно из Рис. 14, на широте 50˚ в летнее

Рис. 14. Азимуты восходов верхнего края Солнца в моменты летнего солнцестояния (I) и зимнего солнцестояния (II) на разных широтах φ˚ Северного полушария в экстремальные эпохи T за последние 50 т.л.н.: T―время в тыс. лет от 30.12.1949 г.; A_Gr―азимуты восходов Солнца в градусах.

солнцестояние азимут восхода Солнца A_Gr равен 50.77˚, а в зимнее − 127.24˚. С уменьшением широты азимут восхода увеличивается и приближается к 66.56˚ на экваторе. А в зимнее солнцестояние азимут восхода уменьшается и на экваторе приближается к 113.44˚. С увеличением широты φ азимут восхода A_Gr дня летнего солнцестояния уменьшается и приближается к нулю. То есть Солнце всходит на Севере и наступает полярный день. А азимут восхода A_Gr дня зимнего солнцестояния с увеличением широты φ увеличивается до 180˚и наступает полярная ночь.

Для остальных эпох изменения азимута восхода Солнца A_Gr происходит подобным образом, но с разными наклонами зависимостей A_Gr(φ). Например, для эпохи 31 т. л. н. полярные ночи и дни начинаются на меньших широтах, а в эпоху 46.44 т. л. н. − на больших широтах.

Следует отметить, что графики на Рис. 14 напоминают графики долготы светового дня D в разные эпохи на Рис. 9, однако области I и II у них разные. Азимуты точки захода края Солнца, например, в день летнего солнцестояния A_Gss, как следует из (65), A_Gss = 360˚ − A_Grsm. Поэтому графики A_Gssm и A_Gswn будут похожи на графики долготы светового дня на Рис. 9.

В табл. 3П работы [28] приведены азимуты восходов Солнца для летнего солнцестояния (A_Grsm) и зимнего (A_Grwn) для пяти разных эпох. Изменение широты φ дается через 2˚, начиная с экватора. Широты изменяются до величин, после которых наступает полярный день (A_Grsm = 0˚) и полярная ночь (A_Grwn = 180˚).

Гнóмоном (др.-греч. − указатель) называется предмет, тень от которого используется в солнечных и лунных часах и календарях. На Рис. 15 показана длина тени l_sh вертикального гномона длиной l_g, которая возникает от верхнего края Солнца. Величина l_sh зависит от зенитного угла z Солнца и его углового радиуса S. Ранее формулой (21) величина S приводилась в виде дуги KS_s1 на Рис. 6. Как следует из Рис. 15, относительная длина тени гномона будет:

l s h 1 = l s h / l g = tg ( z − S ) = tg ( z − 4 . 6599 × 10 − 3 / ρ ) , (68)

где зенитный угол z Солнца определяется выражением (46).

Чтобы избежать отрицательных значений относительной длины теней l_sh1 расчет проводится по следующему алгоритму:

F n 06 = z − 4.6599 × 10 − 3 / ρ ; (69)

F n 6 = F n 06 при − 0. 5 ⋅ π ≤ F n 0 ≤ 0. 5 ⋅ π ;

F n 6 = − 0. 5 ⋅ π при F n 06 < − 0. 5 ⋅ π ;

F n 6 = 0. 5 ⋅ π при F n 06 > 0. 5 ⋅ π ; (70)

l s h 10 = tg ( F n 6 ) ; l s h 1 = l s h 10 при l s h 10 > 0 ; l s h 1 = 0 при l s h 10 < 0 . (71)

По алгоритму (69)-(71) рассчитано изменение относительной длины тени l_sh1 гномона в течение суток для трех разных дней на широте г. Москвы и для одного дня на широте г. Тюмени (Рис. 16). В левой части графика вертикальными линиями показаны часовые углы восходов Солнца, а в правой―часовые углы его заходов. Так как в эти моменты длина тени стремится к бесконечности, и вертикальный размер графика приходится ограничивать, то асимптотическое приближение линий l_sh1 к вертикальным линиям восходов и заходов находится вне рисунка.

Как видно из Рис. 16, в день весеннего равноденствия (линия 1) длина тени l_sh1 после восхода Солнца (ω < 0) уменьшается и в полдень (ω = 0) достигает минимального значения l_sh1 = 1.433. Затем она увеличивается до бесконечности в момент захода Солнца (ω > 0). В день летнего солнцестояния (линия 2) минимальная длина тени уменьшается до l_sh1 = 0.626, а в день зимнего солнцестояния минимальная длина тени увеличивается до l_sh1 = 5.108. Таким образом, на широте г. Москвы длина полуденной тени изменяется в пределах 5.108 ≥ l_sh1 ≥ 0.626.

Рассмотрим траекторию движения тени конца гномона в координатах

Рис. 15. Длина тени l_sh гномона длиной l_g при освещении его солнцем S.

Рис. 16. Изменение длины солнечной тени гномона единичной длины в течение суток в дни весеннего равноденствия 1, летнего 2 и зимнего 3 солнцестояний на широте Москвы (j˚ = 55.7522˚) в современную эпоху 30.12.1949 г. 4―длина солнечной тени гномона 15 августа 2015 г. вблизи Тюмени (j˚ = 57.301575˚) по расчету и 5―по наблюдениям. Вертикальными линиями отмечены часовые углы восходов (ω < 0) и заходов Солнца (ω > 0).

N_sh, E_sh, где ось N_sh направлена на Север, а ось E_sh ? на Восток. Азимут тени A_sh отсчитывается от оси N_sh и выражается через азимут Солнца так: A_sh = A_S + 180˚. Тогда проекции тени на плоскость горизонта запишутся:

N s h = l s h 1 ⋅ cos A s h = − l s h 1 ⋅ cos A S ; E s h = − l s h 1 ⋅ sin A S . (72)

На Рис. 17 показана траектория дневной тени конца гномона относительной длины для трех дней на широте г. Москвы и одного дня на широте г. Тюмени. В начале координат крестиком отмечено положение гномона. На широте г. Москвы в день весеннего равноденствия (линия 1) конец тени гномона движется с Запада (ω < 0) на Восток почти по прямой линии. При этом тень находится севернее гномона. В день летнего солнцестояния тень гномона (линия 2) начинает утром движение с Юго-запада и заканчивает движение вечером на Юго-востоке. Только вблизи полудня, ±2 часа, тень находится севернее гномона. Линией 3 показано, что в день зимнего солнцестояния тень полностью движется на Севере от гномона.

С целью проверки полученных результатов на местности, недалеко от г. Тюмени, были выполнены наблюдения за перемещением тени гномона. На Рис. 18 показан нехитрый инструментарий из подсобных материалов: лист ватмана, компас, карандаш, металлический прут, рулетка и отвес, с помощью которого выполнены наблюдения. Наблюдения проводились 15.08.2015 г., что составляет T_d = 148 день после дня весеннего равноденствия

Рис. 17. Суточная траектория тени конца гномона единичной длины на плоскости горизонта N_sh(E_sh) в дни весеннего равноденствия 1, летнего 2 и зимнего 3 солнцестояний на широте Москвы (j˚ = 55.7522˚) в современную эпоху 30.12.1949 г. 4―траектория тени гномона 15 августа 2015 г. вблизи Тюмени (j˚ = 57.301575˚) по расчету и 5―по наблюдениям. Ось N_sh направлена на Север, а ось E_sh―на восток. Положение гномона в начале координат отмечено крестиком.

Рис. 18. Наблюдение тени гномона 15 августа 2015 г. вблизи Тюмени (j˚ = 57.301575˚) и основные инструменты: лист ватмана, компас, карандаш, металлический прут диаметром 6 мм―гномон, рулетка и отвес.

21 марта. Вдоль тени карандашом проводились линии на ватмане и отмечались конец тени и время ее наблюдения. Затем были замерены азимуты A_shM теней от направления от направления на Север N_M, определенный по компасу.

На Рис. 19 показаны результаты наблюдений в виде зависимости относительной длины тени l_sh1 от времени в г. Тюмени t_m. Как видно,

Рис. 19. Результаты наблюдения относительной длины тени l_sh1 гномона в зависимости от времени t_m в г. Тюмени 15 августа 2015 г. на широте j˚ = 57.301575˚.

минимум l_sh1 приходится на время t_m отличное от 12 часов. На Рис. 16 данные наблюдения точками 5 нанесены на рассчитанную согласно (69)-(71) зависимость 4l_sh1(ω). Положение полдня (ω = 0) приходится на 12 ч. 44 мин тюменского времени.

Для рассматриваемой широты места наблюдения и дня T_d = 148 по формуле (50) был рассчитан азимуты A_S Солнца. Аналогично Рис. 10 он был представлены в виде графика A_S(ω). В этих же координатах нанесены определенные азимуты Солнца A_SM по замеренным азимутам тени A_SM = A_shM − 180˚. Азимуты A_SM оказались эквидистантно сдвинуты на ΔA = 14.47059˚ вниз по отношению к азимутам A_S, т.е. A_SM < A_S. Это обусловлено тем, что Северный магнитный полюс сдвинут к Востоку на величину ΔA по отношению к географическому Северному полюсу.

Скорректированные данные измерения азимута тени и времени ее наблюдения использованы для расчета по формулам (72) ее траектории. На Рис. 17 она нанесена точками 5. Как видим, измеренная траектория тени гномона 5 совпала с рассчитанной 4. Некоторый разброс точек 5 вокруг линии 4 объясняется погрешностью измерений.

Итак, выполненные наблюдения и измерения тени гномона подтвердили представленный алгоритм её расчета. Кроме того, измерения позволили определить истинный полдень в 12 ч. 44 мин тюменского времени и восточное отклонение ΔA магнитной стрелки. Следует отметить, что азимут солнечного полдня и его время наступления можно непосредственно определить по данным наблюдения, представленным на Рис. 19. Но для этого наблюдения необходимо производить более часто и за больший промежуток времени.

Как видно из Рис. 16, наименьшая тень наступает в полдень (ω = 0). В этом случае зенитный угол z_n центра Солнца определяется выражением (51), тогда в соответствии с (68) единичная длина полуденной тени запишется так

l s 1 n = tg ( φ − δ − 4.6599 × 10 − 3 / ρ ) . (73)

Алгоритм расчета относительной длины тени в п. 17.3 программы на SunPhnmen.mcd приведен с учетом особенностей функции tg. Результаты расчетов изменения длины полуденной тени в течение года на разных широтах Северного полушария показаны на Рис. 20. В этих расчетах ввиду несущественного влияния относительного расстояния ρ принято ρ = 1. Как видно из Рис. 20, на широте φ = 60˚ в день весеннего равноденствия (T_d = 0) длина относительной полуденной тени l_s1n = 1.687. Затем она уменьшается и в день летнего солнцестояния достигает минимального значения 0.734. Далее увеличивается и принимает максимальное значение 8.351 в день зимнего солнцестояния. С увеличением широты φ минимальные и максимальные значения возрастают, а с уменьшением φ ? уменьшаются. В тропических широтах (φ < ε) зависимость l_s1n(φ) имеет два максимума и два минимума. В минимумах длина тени равна нулю: в эти моменты Солнце находится в зените. А максимумы l_s1n наступают в дни солнцестояний.

Как показано выше, экстремальные длины теней происходят в дни солнцестояний, которые характеризуются углом δ = ±ε. Тогда из (73) с учетом ρ = 1 получаем относительные длины теней

l s 1 s = tg ( φ − ε − 4.6599 × 10 − 3 ) ; l s 1 w = tg ( φ + ε − 4.6599 × 10 − 3 ) , (74)

для дней летнего и зимнего солнцестояний, соответственно. С учетом особенностей функции tg алгоритм расчета приведен в п. 17.3 программы на SunPhnmen.mcd.

Результаты расчетов экстремальных длин тени для пяти разных эпох в зависимости от широты φ даны на Рис. 21. Шкала для длин теней в летнее солнцестояние l_s1s приведена справа, а для зимнего солнцестояния l_s1w −

Рис. 20. Длина полуденной солнечной тени гномона единичной длины l_s1n в зависимости от дней года T_d в современную эпоху 30.12.1949 г. на разных широтах φ˚ Северного полушария: (a) в обычном масштабе; (b) −при увеличении ординаты l_s1n в 2 раза.

Рис. 21. Тени гномона единичной длины в полдни летнего солнцестояния (l_s1s) и зимнего солнцестояния (l_s1w) на разных широтах φ˚ Северного полушария в экстремальные эпохи T за последние 50 т.л.н.: T―время в тыс. лет от 30.12.1949 г.; масштабы длин l_s1w и l_s1s―разные и отличаются в 4 раза.

слева. В современную эпоху, как видно из Рис. 21 при T = 0, в полдень летнего солнцестояния на экваторе (φ = 0) длина тени l_s1s = 0.428. Затем она уменьшается на тропике φ ≈ ε до 0, а с дальнейшим увеличением широты длина тени возрастает до l_s1s = 2.277 на широте φ = 90˚.

В другие эпохи графики полуденной тени в летнее солнцестояние почти эквидистантно сдвигаются по широте φ, в зависимости от угла наклона ε. На широтах φ = ε длина тени равна нулю: l_s1s = 0.

В современную эпоху (T = 0) в полдень зимнего солнцестояния на экваторе (φ = 0) длина тени l_s1w = 0.428, т.е. такая же, как и в полдень летнего солнцестояния. Затем она с увеличением широты φ растет до бесконечности до широты φ = 90˚ − ε˚ полярного круга, где начинается полярная ночь. В другие эпохи полуденная тень на экваторе изменяется от 0.259 (T = 46.44 т.л.н.) до 0.618 (T = 31 т.л.н.). С увеличением широты длины теней в день зимнего солнцестояния увеличиваются во все эпохи и тем в большей степени, чем меньше широта полярного круга (90˚ ? ε˚).

В табл. 4П работы [28] приведены длины полуденных теней в дни летнего (l_s1s) и зимнего (l_s1w) солнцестояний для пяти разных эпох. Изменение широты φ дается через 2˚, начиная с экватора до широты 80˚. Бесконечная длина тени выражена числом 1.6e+16.