满足同余式

的素数 p 叫作伟伊列治(Wieferich)素数，1909年Wieferich证明了如下一个困难的定理：

如果费马猜想(现已成为定理)的第一种情形对于素数 p 不成立，则必有上面的同余式，所以伟伊列治素数是一种特别的素数，在正整数集中，这种素数是很少的。Lehmer (1981)证明了：在 6 × 10 9 以内只有素数1093和3511满足以上同余式。后来J. knauer和J. Richstein运用互联网把计算扩大到 1.25 × 10 15 均未发现新的伟伊列治素数，到目前为止，仍然只知道仅有以上两个伟伊列治素数，所以寻找更大的伟伊列治素数是一件非常困难的事情，也是一件十分有意义的事情。

设 p 为素数， a ∈ Z ， ( p , a ) = 1 ，则称 q p ( a ) = a p − 1 − 1 p 为 a 对素数 p 的Fermat商[1]。设 m > 2 为整数， a ∈ Z ， ( m , a ) = 1 ，则称 q m ( a ) = a φ ( m ) − 1 m 为 a 对整数 m 的Euler商。

引理1：Wolstenholme定理[2]若 p ≥ 5 为素数，则

引理2：(孙智宏)设 p 为奇素数， a 为正整数，则[1]

引理3：(Eisenstein)设 p 为奇素数，则[1]

我们将伟伊列治素数进行推广：

满足同余式

的素数 p 叫作 Z 素数， 0 ≤ Z < p ， Z ∈ N 。当 Z = 0 时， p 为0素数，也称为伟伊列治素数，任何一种 Z 素数都是非常稀少的：

在 1.25 × 10 15 以内只有 1093 , 3511 为0素数(伟伊列治素数)；

在 1 × 10 10 以内只有 3 , 29 , 37 , 3373 , 2001907169 为1素数；

在 1.5 × 10 9 以内只有 7 , 71 , 379 , 2659 为2素数；

在 1.6 × 10 9 以内只有 5 , 13 , 19 , 173 , 5501 为3素数；

在 1 × 10 10 以内只有2633为4素数；

在10⁸以内只有 11 , 2152849 为5素数；

在10⁸以内只有 31 , 89 为6素数；

在 2.5 × 10 9 以内只有 233 , 118417283 为7素数；

在10⁸以内只有 59 , 1733 为8素数；

对于任一奇素数 p ，都有 q p ( 2 ) ≡ Z ( mod p ) ，所以，任一奇素数都属于某一 Z 素数，而一奇素数不会同时属于两类 Z 素数。本文利用Eisenstein同余式、孙智宏同余式等定理得出了一种 Z 素数的判定方法。

定理1：( Z 素数的判定方法)

设 q p ( 2 ) ≡ Z ( mod p ) ， p 为奇素数， p 为 Z 素数的充分必要条件为

证：必要条件：

根据引理2，当 a = 2 时，

当 p 为 Z 素数时，因

再根据引理1可得

充分条件：

若 − 1 2 ∑ k = 1 p − 1 2 1 k ≡ Z ( mod p ) ，则 1 2 ∑ k = 1 p − 1 2 1 k = ∑ k = 1 p − 1 2 1 2 k ≡ − Z ( mod p ) ，

根据引理1可知， ∑ k = 1 p − 1 2 1 2 k − 1 ≡ ∑ k = 1 p − 1 1 k − ∑ k = 1 p − 1 2 1 2 k ≡ Z ( mod p ) ，根据引理3，可推得

由上可得 q p ( 2 ) = 2 p − 1 − 1 p ≡ Z ( mod p ) 此说明 p 为 Z 素数。

推论： p 为伟伊列治素数，当且仅当 ∑ k = 1 p − 1 2 1 k ≡ 0 ( mod p ) 。

定理2：设 p > 3 为奇素数，则

证：根据引理2知： a p − a p ≡ ∑ k = 1 p − 1 1 k [ k a p ] ( mod p ) 当 a = 3 时可得

因 1 a + 1 p − a ≡ 0 ( mod p ) ，所以 ∑ k = [ p − 1 3 ] + 1 p − ( [ p − 1 3 ] + 1 ) 1 k ≡ 0 ( mod p ) 。 3 p − 3 p ≡ ∑ k = p − [ p − 1 3 ] p − 1 2 k ( mod p ) 。

根据引理1有

所以 − 2 3 ∑ k = 1 [ p − 1 3 ] 1 k ≡ q p ( 3 ) ( mod p ) .

定理3：

设 n = a 1 a 2 ⋯ a i ， a j ∈ N ， j = 1 , 2 , ⋯ , i 。 m > 2 ， ( m , n ) = 1 ，则

证： ( a 1 φ ( m ) − 1 ) ( a 2 φ ( m ) − 1 ) = ( a 1 a 2 ) φ ( m ) − 1 − ( a 1 φ ( m ) − 1 ) − ( a 2 φ ( m ) − 1 ) ，

故 q m ( a 1 a 2 ) − q m ( a 1 ) − q m ( a 2 ) = ( a 1 φ ( m ) − 1 ) ( a 2 φ ( m ) − 1 ) m ≡ 0 ( mod m ) .

根据(1)可得

同理可得

推论 ( a φ ( m ) ) k − 1 ≡ k ( a φ ( m ) − 1 ) ( mod m 2 ) .

定理4：

设 n = a a 1 a 2 ⋯ a i ， a ∈ N ， a j ∈ N ， j = 1 , 2 , ⋯ , i 。 m > 2 ， ( m , a × a 1 a 2 ⋯ a i ) = 1 ，

则

证：因 a = n × a 1 a 2 ⋯ a j ，根据定理4知：

所以 q m ( n ) ≡ q m ( a ) − q m ( a 1 ) − q m ( a 2 ) − ⋯ − q m ( a i ) ( mod m ) 。

猜想1：

设 m > 2 为奇数，则

根据猜想1

m > 2 为奇数， q m ( 2 ) ≡ 0 ( mod m ) ，当且仅当

以下给出了具有上述性质的数 m ：

共104个 m 适合：

是否还有这样的数 m ，目前不能确定。

猜想2

设 m > 3 为整数， ( m , 3 ) = 1 ，则

一类特殊素数的判定方法

摘要：寻找新的伟伊列治素数是一件很困难的事情，本文利用Eisenstein同余式和孙智宏同余式等定理得出了对一类特殊素数的判定方法。本文还对Fermat商和Euler商进行了研究。

关键词：伟伊列治素数，判定方法，充分和必要条件，Fermat商，Euler商